Equações do 2º grau

Conteúdo: Equações do 2º grau

Fala galera! Essa postagem é para o 9º ano.

Tópicos importantes das equações do 2º grau com uma incógnita

·         Pode ser escrita da seguinte maneira: ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números com

a ≠ 0.

·         As equações com a, b e c são diferentes de zero são chamadas completas. Já as que apresentam b = 0, c = 0 ou b = c = 0 são chamadas incompletas.

Exemplos:

( I )  2x² + 4x + 10

Temos que a = 2, b = 4 e c = 10, portanto equação do 2º grau completa.

( II )  x² - 5

Temos que a = 1, b = 0 → ( OBS: pois não temos nenhum coeficiente para x) e c = -5, portanto equação do 2º grau incompleta.

Resoluções das equações do 2º grau

Agora vamos resolver um exercício para os seguintes tipos de equações:

ax² = 0, ax² + bx = 0, ax² + c = 0 → Incompletas

ax² + bx  + c = 0 → completa

OBS: Nas resoluções temos sempre duas raízes ou duas soluções para x.

Tipo ax² = 0, exemplo 16x² = 0

16x² = 0 → o dezesseis passará para depois da igualdade, como está multiplicando o x ficará dividindo o zero.

x² = 0/16 → x² = 0 → o expoente 2 passará para depois da igualdade como raiz quadrada

x = √0 → x = 0, portanto a equação tem duas raízes iguais a 0

Tipo ax² + bx = 0, exemplo 6x² - 18x = 0

6x² - 18x = 0 → colocando o x em evidência, vamos tirar um x de cada membro depois multiplicar x pelo o que sobra. (lembrando que x² = x . x), temos:

x . (6x – 18) = 0 , agora igualou a zero cada fator, temos:

x = 0 e 6x – 18 = 0, como na primeira x é igual a zero achamos a primeira raiz, agora damos continuidade a resolução da segunda 6x – 18 = 0:

6x – 18 = 0 → o dezoito passará para depois da igualdade, como está negativo  ficará positivo

6x = 18 → o seis passará para depois da igualdade, como está multiplicando o x ficará dividindo o dezoito.

x = 18/6 → x = 3

Assim temos duas raízes  x = 0 e x = 3

Tipo ax² + c = 0, exemplo x² - 25 = 0

x² - 25 = 0 → o vinte e cinco passará para depois da igualdade, como está negativo  ficará positivo

x² = 25 → o expoente 2 passará para depois da igualdade como raiz quadrada

x = √25 → Como toda raiz quadrada é positiva e negativa temos

x = 5 e x = -5 → As duas raízes da equação

Tipo ax² + +bx + c = 0,

Vamos estudar as resoluções das equações de 2º grau completas pela fórmula resolutiva

·         As raízes de uma equação do 2º grau ax² + bx  + c são dadas por:

X = -b+-√b²-4ac

              2a

Onde podemos separar o que está na raiz e chamar de delta (∆), assim fica

∆ = b² - 4ac

e 

X = -b+-√∆

         2a

Exemplo: x² + 3x – 10 = 0

Começamos descobrindo os coeficientes a, b e c da equação, temos:

a = 1, b = 3 e c = -10

Vamos agora encontrar o valor de delta

∆ = b² - 4ac

∆ = 3² - 4 . 1 . (-10) (OBS: na multiplicação sinais iguais resultado positivo, sinais diferentes resultado negativo)

∆ = 9 + 40

∆ = 49

Encontrado o valor de delta vamos agora aplicar a segundo fórmula:

X = -b+-√∆

         2a

X = -3+-√49

         2 . 1

X = -3+-7

          2

OBS Agora vamos calcular o valor de dois x (x₁ e x₂), pois temos + e –, então será um com – outro com +. Vamos lá:

X₁  -3 - 7

            2

→ -10

       2

→ -5

X₂ -3 + 7

            2

→  4

      2

→ 2

Portanto as raízes são -5 e 2.

Exercícios propostos

01 - Determine as raízes das equações.

a)      X² - 64 = 0

b)      4x² - 49 = 0

c)       X² - 8x = 0

d)      6x² + 18x = 0

e)      9x² = 0

f)       25x² = 0

g)      2x² + 2x – 24 = 0

h)      X² + 5x + 6 = 0