Sejam bem vindos!

Fala galera, sou Gabriel Ferreira aluno da UFC-UAB-QUIXADÁ cursando o 7º semestre de matemática e professor da rede pública do município de Ocara, o blog Tempo extra matemático tem como objetivo ajudar os alunos do ensino fundamental II em suas atividades de sala, trabalhos de matemática, revisões para provas bimestrais, acompanhamento das aulas e dúvidas sobre o conteúdo que estão estudando.

O blog vai funcionar da seguinte maneira: postagens semanalmente dos conteúdos do ensino fundamental II, vai ter uma postagem para cada ano/série, e no decorrer da semana postagens tirando as possíveis dúvidas dos alunos.

Sobre as postagens, elas vão ser de acordo com o conteúdo de cada ano/série.

Bem pessoal a principio é isso, mas no decorrer do tempo se vocês tiverem dúvidas, qualquer tipo de dúvidas a respeito do blog pode perguntar que responderei, mas breve possível.

Abaixo estão quatro postagens, uma de cada ano com conteúdos específicos.

Att Professor Gabriel Ferreira, Abraços a todos!!!

Equações do 2º grau

Conteúdo: Equações do 2º grau

Fala galera! Essa postagem é para o 9º ano.

Tópicos importantes das equações do 2º grau com uma incógnita

·         Pode ser escrita da seguinte maneira: ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números com

a ≠ 0.

·         As equações com a, b e c são diferentes de zero são chamadas completas. Já as que apresentam b = 0, c = 0 ou b = c = 0 são chamadas incompletas.

Exemplos:

( I )  2x² + 4x + 10

Temos que a = 2, b = 4 e c = 10, portanto equação do 2º grau completa.

( II )  x² - 5

Temos que a = 1, b = 0 → ( OBS: pois não temos nenhum coeficiente para x) e c = -5, portanto equação do 2º grau incompleta.

Resoluções das equações do 2º grau

Agora vamos resolver um exercício para os seguintes tipos de equações:

ax² = 0, ax² + bx = 0, ax² + c = 0 → Incompletas

ax² + bx  + c = 0 → completa

OBS: Nas resoluções temos sempre duas raízes ou duas soluções para x.

Tipo ax² = 0, exemplo 16x² = 0

16x² = 0 → o dezesseis passará para depois da igualdade, como está multiplicando o x ficará dividindo o zero.

x² = 0/16 → x² = 0 → o expoente 2 passará para depois da igualdade como raiz quadrada

x = √0 → x = 0, portanto a equação tem duas raízes iguais a 0

Tipo ax² + bx = 0, exemplo 6x² - 18x = 0

6x² - 18x = 0 → colocando o x em evidência, vamos tirar um x de cada membro depois multiplicar x pelo o que sobra. (lembrando que x² = x . x), temos:

x . (6x – 18) = 0 , agora igualou a zero cada fator, temos:

x = 0 e 6x – 18 = 0, como na primeira x é igual a zero achamos a primeira raiz, agora damos continuidade a resolução da segunda 6x – 18 = 0:

6x – 18 = 0 → o dezoito passará para depois da igualdade, como está negativo  ficará positivo

6x = 18 → o seis passará para depois da igualdade, como está multiplicando o x ficará dividindo o dezoito.

x = 18/6 → x = 3

Assim temos duas raízes  x = 0 e x = 3

Tipo ax² + c = 0, exemplo x² - 25 = 0

x² - 25 = 0 → o vinte e cinco passará para depois da igualdade, como está negativo  ficará positivo

x² = 25 → o expoente 2 passará para depois da igualdade como raiz quadrada

x = √25 → Como toda raiz quadrada é positiva e negativa temos

x = 5 e x = -5 → As duas raízes da equação

Tipo ax² + +bx + c = 0,

Vamos estudar as resoluções das equações de 2º grau completas pela fórmula resolutiva

·         As raízes de uma equação do 2º grau ax² + bx  + c são dadas por:

X = -b+-√b²-4ac

              2a

Onde podemos separar o que está na raiz e chamar de delta (∆), assim fica

∆ = b² - 4ac

e 

X = -b+-√∆

         2a

Exemplo: x² + 3x – 10 = 0

Começamos descobrindo os coeficientes a, b e c da equação, temos:

a = 1, b = 3 e c = -10

Vamos agora encontrar o valor de delta

∆ = b² - 4ac

∆ = 3² - 4 . 1 . (-10) (OBS: na multiplicação sinais iguais resultado positivo, sinais diferentes resultado negativo)

∆ = 9 + 40

∆ = 49

Encontrado o valor de delta vamos agora aplicar a segundo fórmula:

X = -b+-√∆

         2a

X = -3+-√49

         2 . 1

X = -3+-7

          2

OBS Agora vamos calcular o valor de dois x (x₁ e x₂), pois temos + e –, então será um com – outro com +. Vamos lá:

X₁  -3 - 7

            2

→ -10

       2

→ -5

X₂ -3 + 7

            2

→  4

      2

→ 2

Portanto as raízes são -5 e 2.

Exercícios propostos

01 - Determine as raízes das equações.

a)      X² - 64 = 0

b)      4x² - 49 = 0

c)       X² - 8x = 0

d)      6x² + 18x = 0

e)      9x² = 0

f)       25x² = 0

g)      2x² + 2x – 24 = 0

h)      X² + 5x + 6 = 0

Potências e raízes

Conteúdo: Potências e raízes 

Fala galera! Essa postagem é para o 8º ano.

Potências

·         A operação utilizada para representar uma multiplicação de fatores iguais é chamada potenciação, na qual podemos destacar os seguintes elementos.

5³ = 125

5 é base, o fator que se repete.

3 é o expoente, indica o números de vezes que o fator se repete.

125 é a potência, o produto dos fatores iguais.

No caso 5³ = 5 . 5 . 5 = 125

·         Em uma potência cujo expoente é 1, o resultado é o próprio número.

·         Em uma potência cujo expoente é 0, o resultado é sempre 1.

·         Em uma potência cujo expoente é um número qualquer e a base é um número positivo, o resultado será sempre positivo.

·         Em uma potência cuja base é um número negativo, o resultado será negativo se o expoente for ímpar, e será positivo se o expoente for par.

·         Nas potências fracionárias, elevamos numerador e denominador ao mesmo expoente.

Exemplo:

( 5 : 4 )² = 5 . 5 : 4 . 4 = 25 : 20

·         Um número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse número elevado ao oposto desse expoente.

Exemplo:

8^-3 =     1_ =    1_ =     1_

            8³        8³       512

       

Raízes

·         Essa é a operação inversa da radiciação, podemos destacar o seguinte:

²√25 = 5 → pois 5 . 5 = 25

2 é o índice

√ é o radical

25 é o radicando

5 é a raiz quadrada

·         Obtemos raiz quadrada somente de número positivos, pois nenhum número elevado ao quadrado resulta em um número negativo.

·         Para calcular a raiz quadrada de um número fracionário, podemos calcular a raiz quadrada do numerador e do denominador separadamente. Assim, sendo a e b números naturais ( b ≠ 0 ).

Exemplo:

²√9/4 = 3/2

Exercícios propostos.

01 – Calcule as potências.

a)      4³

b)      45¹

c)       8⁵

d)      25⁰

02 – Calcule.

a)      √36

b)      √289

c)       √9/36

d)      √0,25

Proporcionalidade

Conteúdo: Proporcionalidade

Fala galera! Essa postagem é para o 7º ano.

Razões

·         Podemos comparar duas grandezas por meio de uma razão. A razão entre os números x e y, com y ≠ 0, pode ser indicada pela fração x/y ou quociente x : y.

Exemplo:

A quantidade de água de cloro recomendada para o tratamento de uma piscina é 1g para cada 100L de água.

A razão que pode ser escrita nessa situação é:

100    ou  100 : 1, lê-se 100L de água está para 1g de cloro, 100 está para 1.

  1

Grandezas proporcionais

Em algumas situações, duas ou mais grandezas podem estar relacionadas, sendo essa relação diretamente ou inversamente proporcional.

Vejamos um exemplo de cada:

Grandezas diretamente proporcionais

O preço da gasolina é de R$ 2,98 o litro, quantos reais custa 10 litros dessa gasolina?

Gasolina (L)	Preço (R$)
2,98	1
?	10

Como a quantidade de litros foi aumentada dez vezes o valor a ser pago também aumentará. Logo 10 x 2,98 = 29,80, então preço a ser pago por 10L dessa gasolina é de R$ 29,80.

Dessa forma, dizemos que a quantidade de litros de gasolina e o preço a ser pago são grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais

2 caminhões para entregar uma encomenda deram 10 viagens cada, se fossem 4 caminhões quantas viagens seriam dariam cada caminhão?

Caminhões	Viagens
2	10
4	?

Como a quantidade de caminhões foi aumentada duas vezes a quantidade de viagens terá que ser dividida pro dois. Logo 10 : 2 = 5, então cada caminhão dará 5  viagens.

Dessa forma, dizemos que a quantidade de caminhões e a quantidade de viagens são grandezas inversamente proporcionais.

Regra de três simples

O estudo da regra de três simples ocorrerá em duas etapas, uma com Grandezas diretamente proporcionais e outra com Grandezas inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais

Exemplo: alguns medicamentos em gotas a sua quantidades a ser ingerida depende do peso da pessoa, um medicamento foi receitado 1 gota para cada 2kg da pessoa que irá tomar, quantas gotas seriam necessárias para uma pessoa de 64 Kg?

Gotas	Kg
1	2
x	64

Vamos multiplicar o numerador de uma fração pelo denominador de outra

X . 2 = 1 . 64 → multiplica

2x = 64 → isolamos x, o 2 passará para o outro lado da igualdade, no caso está multiplicando x ficará dividindo 64.

X = 64   → divide

        2

X = 32 gotas

Sendo assim a pessoa que tem 64Kg precisa tomar 32 gotas desse medicamento.

Grandezas inversamente proporcionais

Exemplo: Para confeccionar certa quantidade de um tipo de cadeira, um marceneiro necessita de 8 dias  trabalhando 3h por dia. Porém, se ele trabalhar 6h por dia, a mesma quantidade de cadeiras será confeccionas em quantos dias?

Dias	Horas
8	3
x	6

Vamos multiplicar o numerador de uma fração pelo numerador de outra o denominador  pelo denominador.

X . 6 = 8 . 3 → multiplica

6x = 24 → isolamos x, o 6 passará para o outro lado da igualdade, no caso está multiplicando x ficará dividindo 24.

X = 24   → divide

       6

X = 4 dias

Sendo assim será necessário 4 dias.

Exercícios propostos

01 – Enquanto um “lava lento” lava 4 carros, o “lava rápido” lava 12. Quantos carros o “lava rápido” lavará no mesmo tempo em que “lava lento” lavar 42 carros?

02 – Para transportar toda a terra retirada em uma obra, dois caminhões necessitam realizar 18 viagens cada um. Se forem utilizados 6 caminhões no transporte da terra, quantas viagens cada um terá de realizar?

Operações com números naturais

Conteúdo: Operações com números naturais

Fala galera! Essa postagem é para o 6º ano.

Tópicos importantes da adição

·         Em uma adição, podemos trocar a ordem das parcelas que o resultado não se altera.

·         Em uma adição de três ou mais parcelas, podemos associar essas parcelas de maneiras diferentes que o resultado não se altera.

·         Em uma adição de duas parcelas em que uma delas é igual a zero, o resultado é igual à outra parcela, dizemos, então, que o zero é o elemento neutro da adição.

Exemplo:

Vamos adicionar os números 280438 e 268685.

OBS: organizamos parcela abaixo parcela, e sempre unidade abaixo de unidade, dezena abaixo de dezena, centena abaixo de centena e assim sucessivamente, depois vamos adicionando número por número começando da direita para esquerda.

¹2 8¹0¹4¹3 8  → parcela

+2 6 8 6 8 5  → parcela

  5 4 9 1 2 3    → soma

Subtração

Exemplo:

Vamos subtrair os números 6515 e 2800.

OBS: organizamos o maior número em cima e menor em baixo, e sempre unidade abaixo de unidade, dezena abaixo de dezena, centena abaixo de centena e assim sucessivamente, depois vamos subtraindo número por número começando da direita para esquerda.

 ⁵6¹5 1 5→ minuendo

- 2 8 0 0→ subtraendo

  3 7 1 5→ diferença

Tópicos importantes da multiplicação

·         Em uma multiplicação, podemos trocar a ordem dos fatores que o resultado não se altera.

·         Em uma multiplicação de três ou mais fatores, podemos associar esses fatores de maneiras diferentes que o resultado não se altera.

·         Em uma multiplicação de dois fatores em que um deles é igual a 1, o resultado é igual ao outro fator, dizemos, então, que o 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exemplo:

Vamos multiplicar os números 12 e 34.

OBS: organizamos um fator abaixo do outro, depois vamos multiplicando cada número abaixo por todos de cima separadamente ficando parcela para depois serem somadas.

    3 4 → fator

x 1 2  → fator

   6 8    →  ( 2 x 34)

+ 3 4   → ( 1 x 34 )

 408 → produto

Divisão

Exemplo:

Vamos dividir 15344 para 28.

Organizando.

Dividendo → 1 5 3 4 4  ∟ 28  ← divisor

Agora é o seguinte observamos quantas casas decimais temos no divisor, no caso duas o 28, e começamos a multiplica o divisor (28) por números que cheguem perto ou igual a duas casas decimais do dividendo que é 15 não podendo ultrapassar esse valor.

1 x 28 = 28 → como multiplicamos por 1 e  o valor é maior que 15, pegaremos mais uma casa decimal do dividendo, que fica assim 153.

1 x 28 = 28

2 x 28 = 56

3 x 28 = 84

4 x 28 = 112

5 x 28 = 140

6 x 28 = 168 → por 6 passou de 153, então vamos usar vezes 5.

  1 5 3 4 4  ∟ 28 

  1 4 0              5

Subtraímos 153 - 140

 1 5 3 4 4  ∟ 28

-1 4 0 ↓             5

 0 1 3 4 → esse 4 é do dividendo que junta com o resultado da subtração

Agora multiplicamos o divisor novamente até que chegue perto ou igual a 134 não podendo ultrapassar.

1 5 3 4 4  ∟ 28

-1 4 0 ↓             5

 0 1 3 4

1 x 28 = 28

2 x 28 = 56

3 x 28 = 84

4 x 28 = 112

5 x 28 = 140  →  por 5 passou 134, então vamos usar vezes 4.

1 5 3 4 4  ∟ 28

-1 4 0 ↓          5 4

 0 1 3 4

  - 1 1 2  ↓

     0 2 2 4

Agora multiplicamos o divisor novamente até que chegue perto ou igual a 224 não podendo ultrapassar.

1 5 3 4 4  ∟ 28

-1 4 0 ↓          5 4

 0 1 3 4

  - 1 1 2  ↓

     0 2 2 4

1 x 28 = 28

2 x 28 = 56

3 x 28 = 84

4 x 28 = 112

5 x 28 = 140

6 x 28 = 168

7 x 28 = 196

8 x 28 = 224 → como por 8 é exatamente igual 22vamos usar vezes 8

1 5 3 4 4  ∟ 28

-1 4 0 ↓          5 4 8 ← quociente

 0 1 3 4

  - 1 1 2  ↓

     0 2 2 4

      - 2 2 4

          0 0 0  ← resto              

Exercícios propostos

01 - Resolva:

a) 37829 + 84372

b) 1763 + 8361

c) 7234 - 4328

d) 20233 - 10938

e) 23 x 865

d) 172 x 8712

g) 924 : 12

h) 1575 : 35